Limit Dan Kekontinuan (Kalkulus)
Limit Fungsi di Suatu Titik
Menggambarkan sikap fungsi kalau peubahnya mendekati suatu titik.
Dari tabel dan grafik: nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 1, tetapi x # 1
Notasi:$\lim_{x \to1 }f(x)=3$
Definisi [Limit fungsi di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan L, ditulis
$\lim_{x \to a }f(x)=L$Apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a, tetapi x # a.
Kasus-kasus Limit yang Sama
Ketiga masalah di bawah ini menunjukkan limit yang sama, yaitu $\lim_{x \to a }f(x)=L$
Ketiga masalah di bawah ini menunjukkan limit yang sama, yaitu $\lim_{x \to a }f(x)=L$
Limit Satu Sisi
Menggambarkan sikap fungsi kalau peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan
Ilustrasi:
Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)
Dari grafik:
1) nilai f (x) dapat dibentuk sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.
Notasi: $\lim_{x \to 0^{-} }f(x)=-1$
2) nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.
Notasi: $\lim_{x \to 0^{+} }f(x)=-1$
Definisi [limit kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) dikala x mendekati a (limit f (x) dikala x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis
$\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L$apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a dan x > a.
Definisi [limit kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) dikala x mendekati a (limit f (x) dikala x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis
$\lim_{x \to a^{-} }f(x)=L$apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a dan x < a.
Teorema [hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi]
$\lim_{x \to a }f(x)=L$ kalau dan hanya jika $\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L=\lim_{x \to a^{-} }f(x)$
Limit Tak Hingga
Menggambarkan sikap nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas kalau peubahnya mendekati suatu titik
Ilustrasi:
Diketahui: $\frac{1}{x^{2}}$
Dari grafik:
nilai f (x) sanggup dibentuk sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0, tetapi x # 0.
Notasi: $\lim_{x \to 0 }f(x)=\infty$
Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan $\infty$, ditulis$\lim_{x \to a }f(x)=\infty$apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a, tetapi x # a.
Catatan:
Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $\infty$ yaitu f(x) --> $\infty$ bila x--> a
Ilustrasi:
Diketahui: f(x) = - 1/x^2
Dari grafik:
nilai f (x) sanggup dibentuk sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0, tetapi x # 0.
Notasi: $\lim_{x \to 0 }f(x)= - \infty$
Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan $- \infty$ , ditulis
$\lim_{x \to a }f(x)=- \infty$apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a tetapi x # a.
Catatan:
Notasi lain untuk limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan $- \infty$ yaitu f(x) --> $- \infty$ bila x--> a
Definisi serupa sanggup diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:
Hukum Limit
Teorema Limit Utama
Teorema
Misalkan c konstanta, n bilangan bundar faktual dan kedua limit $\lim_{x \to a }f(x)$ dan $\lim_{x \to a }g(x)$
ada, maka :
Teorema:
Teorema Substitusi
Teorema
Jika f yaitu polinom atau fungsi rasional dan a di dalam kawasan asal f, maka $\lim_{x \to a }f(x)=f(a)$
Pertidaksamaan Limit
Teorema
Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka
$\lim_{x \to a }f(x)\leqslant \lim_{x \to a }g(x)$
Teorema Apit
Teorema
Teorema
Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) pada waktu x bersahabat a (kecuali mungkin di a)
dan $\lim_{x \to a }f(x)=L= \lim_{x \to a }h(x),$, maka $\lim_{x \to a }g(x)=L$
Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan di Satu Titik
Definisi [Kekontinuan di satu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila $\lim_{x \to a }f(x)= f(a)$
Catatan:
Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik
Teorema:
Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c yaitu konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:
1) f + g
2) f - g
3) cf
4) fg
5) f/g kalau g(a) # 0
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit
Teorema [Limit fungsi komposit]
Jika f kontinu pada b dan $\lim_{x \to a }g(x)= b$, maka $\lim_{x \to a }f(g(x))= f(\lim_{x \to a }g(x))$
Teorema [Kekontinuan fungsi komposit]
Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.
Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan
Definisi [Kontinu kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila
$\lim_{x \to a^{-} }f(x)= f(a)$
Definisi [Kontinu kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila $\lim_{x \to a^{+} }f(x)= f(a)$
Kekontinuan pada Interval
Definisi [Kekontinuan pada interval]
- Fungsi f kontinu pada interval (a, b), kalau f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.
- ungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada kawasan asalnya:
- Fungsi polinom
- Fungsi rasional
- Fngsi trigonometri
- Fungsi akar
- Fungsi eksponen
- Fungsi logaritma
- Fungsi nilai mutlak
Teorema Nilai Antara
Teorema
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N yaitu bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c anggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.
Kegunaan Teorema Nilai Antara
1) Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.
2) Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.
3) Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.
Semoga Bermanfaat
0 Response to "Limit Dan Kekontinuan (Kalkulus)"
Posting Komentar