Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada postingan sebelumnya penulis telah memaparkan sedikit mengenai persamaan bulat yang ditinjau secara  analitik. Nahhh...pada kesempatan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran yang merupakan kelanjutan dari bahan sebelumnya yang sanggup kalian baca disini.

Dari bahan sebelumnya kita tahu bahwa persamaan bulat dengan sentra $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r$

  

Bentuk ini dinamakan dengan Bentuk Baku Persamaan Lingkaran. Lalu, bagaimana kalau persamaan ini kita jabarkan lebih lanjut. Perhatikan uraian berikut:

$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}&=0\end{align*}$

Misalkan: $-2a=A$, $-2b=B$, dan $a^{2}+b^{2}-r^{2}=C$, maka bentuk terakhir dari klasifikasi di atas menjadi:

$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$

Bentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$ inilah yang dinamakan dengan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.

Pada kebanyakan soal,seringkali persamaan bulat dinyatakan dalam bentuk umum,misalnya $x^{2}+y^{2}-10x+24y-11=0$. Ketika berhadapan dengan soal menyerupai ini seringkali adik-adik yang masih Sekolah Menengan Atas kebingungan dalam memilih titik sentra dan jari-jari lingkarannya. Namun,ada juga yang sudah tahu rumusnya. Nahh...bagi adik-adik yang duduk di kursi Sekolah Menengan Atas dan belum tahu rumus mencari titik sentra dan jari-jari bulat berbentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$, dan bagi yang sudah tahu namun belum tahu asal usulnya berikut dijelaskan.

Perhatikan kembali bentuk umum persamaan bulat di atas. Jika bentuk umum persamaan bulat tersebut dinyatakan dalam bentuk kuadrat tepat maka akan diperoleh bentuk berikut.

$\small \begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ (x^{2}+Ax)+(y^{2}+Bx)&=-C\\ \left ( x^{2}+Ax+\left(\frac{1}{2}A\right)^{2} \right )+ \left ( y^{2}+Bx+\left(\frac{1}{2}B\right)^{2} \right )&=\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2}B \right )^{2}-C\\ \left ( x+\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left (y+ \frac{1}{2}B \right )^{2}&=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \end{align*}$  

Dari bentuk persamaan terakhir diperoleh:

$\begin{align*} \textrm{Pusat}\;\textrm{lingkaran}&=\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ \textrm{Jari}-\textrm{Jari}\;r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \end{align*}$

Dari beberapa uraian di atas,dapat dibentuk kesimpulan singkat sebagai berikut.

Bentuk umum persamaan bulat adalah:

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 \end{align*}$

dengan titik sentra $\begin{align*}\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\end{align*}$ dan berjari-jari $\begin{align*}r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\end{align*}$

Jika suatu bulat dengan sentra $(x_{1},y_{1})$ meyinggung garis lurus $ax+by+c=0$ di sembarang titik

gambar.lingkaran bersinggungan dengan garis lurus $ax+by+c=0$

maka jari-jari $r$ bulat sanggup ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} r=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right | \end{align*}$

Berikut ini diberikan beberapa pola soal.

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan bulat yang berpusat di titik $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan.

Jawab

Misalkan titik sentra $A(4,-6)$ dan $r=5$, maka:

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-4)^{2}+(y-(-6))^{2}&=5^{2}\\ (x-4)^{2}+(y+6))^{2}&=5^{2}\\ x^{2}-8x+16+y^{2}+12y+36&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+52&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$ 

Jadi, persaamaan bulat dengan berpusat di $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan yakni $\begin{align*} x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$

Contoh Soal 2

Tentukan titik sentra dan jari-jari bulat yang mempunyai persamaan $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, lalu gambarkanlah bulat tersebut dalam bidang kartesius.
Jawab
Dari persamaan bulat $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, diperoleh $A=4,\; B=-6$ dan $C=-12$. Misalkan titik sentra bulat tersebut yakni $P$, maka:
$\begin{align*} P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\\P&=\left(-\frac{1}{2}(4),-\frac{1}{2}(-6) \right)\\P&=(-2,3)\\ \end{align*}$
Misalkan jari-jari bulat tersebut yakni $r$,maka:
$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ r&=\sqrt{4+9+12}\\ r&=\sqrt{25}\\ r&=5 \end{align*}$
Jadi, titik sentra dan jari-jari bulat $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$ berturut-turut yakni $(-2,3)$ dan $5$ satuan.
Jika digambar dalam bidang kartesius, tampak menyerupai berikut.

gambar bulat $\small \begin{align*} L\equiv x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \end{align*}$ 

Contoh Soal 3

Diketahui garis $5x-12y+10=0$ menyinggung sebuah bulat yang berpusat di $(1,-2)$. Tentukkan persamaan bulat tersbeut.
Jawab
Dari warta yang terdapat pada soal tersebut diperoleh sentra $(x_{1},y_{1}=(1,-2)$, dan $a=5,\;b=-12$, dan $c=10$.
Jari-Jari Lingkaran
$\begin{align*} r&=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{(5).(1)+(-12)(-2)+10}{\sqrt{(5)^{2}+(-12)^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{39}{13} \right |\\ r&=3 \end{align*}$
Persamaan Lingkaran
$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}&=3^{2}\\ x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4&=9\\ x^{2}+y^{2}-2x+4y-5&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan bulat tersebut yakni $x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$.
Agar lebih paham perhatikan gambar berikut.

gb. garis $5x-12y+10=0$ bersinggungan dengan bulat di titik $P$.

Demikianlah pembahasan bahan mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. Jika ditemukan kesalahan baik itu pembahasan maupun kesalahan dalam penulisan segera komentari di kolom komentar. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika...
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: