Ringkasan Bahan Barisan Tak Sampai Dalam Kalkulus

Pada bahan kali ini, prasyarat yang diharapkan supaya sanggup mengerti dengan terperinci bahan wacana "Barisan Tak Hingga" yaitu pengetahuan akan konsep fungsi dan limit fungsi.
Definisi Barisan Takhingga

Suatu barisan takhingga $a_{1},a_{2},a_{3},...$ ialah susunan bilangan terurut sesuai dengan urutan bilangan orisinil sebagai indeksnya, atau suatu fungsi yang tempat asalnya ialah himpunan bilangan asli.

Barisan $a_{1},a_{2},a_{3},...$ sanggup disajikan sebagai $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}_{n=1}^{\infty }\mathrm{atau} \begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$

Kadangkala kita memperhatikan barisan yang indeksnya terdiri atas semua bilangan orisinil atau bilangan yang lebih besar.
Contohnya:
 $\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}_{n=8}^{\infty }=\begin{Bmatrix} b_{8},b_{9},b_{10},... \end{Bmatrix}.$

Suatu barisan sanggup dispesifikasi dengan beberapa cara berikut ini:
1. Dengan menawarkan suku awal yang cukup untuk membentuk suatu pola. Misalnya barisan: 2, 5, 8, 11, 14, ...
2. Dengan rumus eksplisit untuk suku ke-n. Misalnya: $a_{n}=3n-1,n\geq 1$
3. Dengan rumus rekursif. Misalnya $a_{1}=2$ dan untuk semua $n\geq 2, a_{n}=a_{n-1}+3$

Kekonvergenan
Untuk memahami konsep kekonvergenen barisan tak hingga, perhatikan empat barisan berikut.
a. $a_{n}=1-\frac{1}{n};n\geq 1$ atau $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},...$
b. $b_{n}=1-(-1)^{n}\frac{1}{n}; n\geq 1$ atau $2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},\frac{3}{4},\frac{6}{5},...$
c. $c_{n}=\frac{(-1)^{n}(n-1)}{n};n\geq 1$ atau $0,\frac{1}{2},\frac{-2}{3},\frac{3}{4},\frac{-4}{5},\frac{5}{6},\frac{-6}{7},...$

Untuk nilai n yang semakin besar, baik nilai $a_{n}$ maupun nilai $b_{n}$ menuju ke 1. Namun tidak demikian dengan nilai $c_{n}$ dalam hal ini kita sebut barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}dan\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 1.

Definisi Kekonvergenan

Suatu barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ disebut konvergen ke L, atau berlimit L, dan ditulis
$a_{n}\rightarrow L, kalau n\rightarrow \infty$ atau $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=L$
kalau untuk setiap bilangan konkret $\epsilon$, ada bilangan konkret N sehingga $n\geq N$ maka $\begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}< \epsilon$.

Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga disebit divergen.

Teorema Barisan Tak Hingga
Misalkan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dan $\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}$ ialah barisan-barisan yang konvergen dan k ialah suatu konstanta. Maka:
$1.\lim_{n\rightarrow \infty }\bigl(\begin{smallmatrix} ka_{n} \end{smallmatrix}\bigr)=k\bigl(\begin{smallmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{smallmatrix}\bigr)$
$2. \lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} a_{n}\pm b_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}\pm \begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}$
$3. \lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} a_{n}b_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}$
$4. \lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}/\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}$, asalkan $4. \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq 0$

Teoreme Apit
Jika $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dan $\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}$ ialah barisan-barisan yang konvergen menuju L, serta $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ untuk semua $n> K$ dengan K ialah konstanta bilangan asli, maka barisan $\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen menuju L.

Teorema
Jika $\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} a_{n} \end{vmatrix}=0$ maka $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

Definisi Barisan Monoton

a. Suatu barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ disebut barisan naik kalau untuk semua $n\geq 1$ berlaku $a_{n}< a_{n+1}$.
b. Suatu barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ disebut barisan turun kalau untuk semua $n\geq 1$ berlaku $a_{n}> a_{n+1}$.
c. Suatu barisan  $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ disebut barisan takturun kalau untuk semua $n\geq 1$ berlaku $a_{n}\leq a_{n+1}$.
d. Suatu barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ disebut barisan taknaik kalau untuk semua $n\geq 1$ berlaku $a_{n}\leq a_{n+1}$.

Barisan yang memenuhi salah satu sifat di atas disebut barisan monoton.

Teorema

1. Jika U ialah suatu batas atas barisan takturun $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$, maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U.
2. Jika L ialah suatu batas bawah barisan taknaik $\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}$, maka barisan ini konvergen menuju suatu limit B yang kurang dari atau sama dengan L.

catatan: 
barisan takturun : sanggup naik, sanggup konstan
barisan taknaik : sanggup turun, sanggup konstan

Untuk pola soal dan pembahasannya, Gengs sanggup mengklik link di bawah ini:
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Oke dehh Gengs, hingga di sini dulu wacana Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.


Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: