Rangkuman Bahan Trigonometri Dan Referensi Soal Trigonometri Sma

TRIGONOMETRI

Kalau kita bertanya kepada anak sekolah, “Pelajaran apa yang paling susah?” banyak yang akan menjawab “Pelajaran Matematika”. Saya rasa tanggapan ini berlaku dari dulu sampai sekarang. Salah satu bahan yang sering “dihindari” dan dianggap paling susah bagi siswa yaitu bahan Trigonometri.

Sebenarnya Trigonometri tidaklah sesusah yang dibanyangkan, kuncinya kita hanya perlu memahami konsep dasar Trigonometri. Setelah kita memahami konsep dasarnya (sebenarnya ini berlaku untuk semua bahan matematika) maka soal apapun sanggup dikerjakan. Selain itu, untuk memhami rumus trigonometri, petlu tahu dari mana rumus itu berasal. jadi tidak asal dihafalkan saja.

Jika kita telah memahami konsep dasar trigonometri, maka bahan Trigonometri menjadi hal yang mudah, setiap soal sanggup kita kerjakan. Jika sudah begitu, maka matematika sanggup menjadi “teman” yang baik bagi siswa.

Berikut akan dijelaskan konsep dasar dan rangkuman serta rujukan soal bahan trigonometri. Semoga sanggup memberi pemahaman wacana bahan trigonometri.




A. Perbandingan Trigonometri

Jadi, untuk memudahkan menghafal rumus Perbandingan Trigonometri menjadi:

Sin ⁡a=DeMi 

cos ⁡a=SaMi

tan⁡ a=DeSa

Contoh  Soal Perbandingan trigonometri

Suatu segituga KLM yang siku-siku di L diketahui panjang KL = 14 cm dan LM = 48 cm. Tentukan panjang KM dan carilah nilai sin a, cos a tan a.

Jawab :

Gambar 1

KM = √(〖KL〗^2+〖LM〗^2 )

=√(〖14〗^2+〖48〗^2 )=√(196+2304)

=√2500=50 cm

Maka panjang KM = 50 cm

Sin a=y/r  =Depan/Miring         Sin a=14/50  =7/25

cos ⁡a=x/r=Samping/Miring cos ⁡a=48/50=24/25

 Tan ⁡a=y/x=Depan/Samping Tan⁡ a=14/48=7/24

B. Tanda Tanda Perbandingan Trionometri

Untuk memudahkan dalam mengingat tanda (+/ - ) pada masing masing kudran maka sanggup dibentuk menyerupai gambar di samping.

Gambar 2

Gambar tersebut maksudnya pada kuadran I semua fungsi trigonometri bernilai kasatmata (+), pada kuadran II yang bernilai kasatmata (+) hanya fungsi Sin yang lain bernilai negatif (-),  pada kuadran III yang bernilai kasatmata (+) hanya fungsi Tan yang lain bernilai negatif (-),  pada kuadran IV yang bernilai kasatmata (+) hanya fungsi Cos yang lain bernilai negatif (-). Bisa disingkat dengan KoTaSiALL

Fungsi Trigonometri Sudut-Sudut spesial dan Trigonometri dari sudut yang Berelasi

Dalam fungsi trigonometri terdapat sudut-sudut istimewa yakni 0°,30°,45°,60°,90°  yang mempunyai nilai perbandingan trigonometri sebagai berikut.

∝ 0°    30°        45°       60°          90°

Sin 0     1/2              1/2 √2       1/2 √3 1

Cos 1 1/2 √3     1/2 √2       1/2         0

Tan 0 1/3 √3       1       √3        ∞

Trigonometri dari sudut yang Berelasi

Sedangkan untuk menghitung sudut yang berada diluar kuadran I, sanggup dicari dengan memakai rumus sudut berelasi. Rumus sudut berelasi memudahkan dalam mencari nilai perbandingan trigonometri suatu sudut yang berada di kuadran II, III dan IV atau sudut negatif(-).

Berikut rumus sudut yang berelasi pada Trigonometri

Untuk Sudut (90-a)

Sin (90-a) = Cos a

Cos (90-a) = Sin a

Tan (90-a) = Cot a

 

Untuk Sudut (180-a)

Sin (180-a) = Sin a 

Cos (180-a) =- Cos a

Tan (180-a) = - tan a

Untuk sudut (180+a)

Sin (180+a) = -sin a

Cos (180+a) = - cos a

Tan (180+a) = tan a

Untuk sudut (-a) dan sudut (360-a)

Sin (360-a) = -sin a         Sin (-a)= -sin a

        Cos (360-a) = Cos a Cos (-a) =cos a

Tan (360-a) = - tan a Tan (-a)= -tan a

Contoh Soal :

1. Diketahui segitiga DEF dengan sudut E= 45° dan FU yaitu garis tinggi segitiga itu dari sudut F.

Jika panjang EF = a, dan DU = 5/2 a√2 cm, maka hitunglah tinggi DF.

Jawab :

Lihat segitiga EFU.

Sin  45°= FU/EF

↔FU=EF.sin⁡〖45°〗=a/2 √a

Lihat segitiga DFU

DF=√(〖FU〗^2+〖UD〗^2 )

     =√(〖(a/2 √a)〗^2+〖(5/2 a√2)〗^2 )

     =√(〖25/2 a〗^2+a^2/2)

     =√(13a^2 )=a√13

2. Nilai sin 750°, yaitu ...

Jawab :

Karena didalam soal, sudutnya lebih dari 360°, maka sudut itu dikurangi dengan 360°,, maka :

Sin 750°= Sin (750-2.360)

=sing 30= ½

3. Jika k di kuadran II dan tg k =x, maka sin k =...

buatlah segitiga :

AC = √(1^2+a^2 )=√(a^2+1^2 )

Maka sin k = BC/AC=a/√(a^2+1^2 )

C. Identitas Trigonometri

Sin^2 A+Cos^2  A=1

Sin 2A = 2 Sin A cos A

Cos 2A = =1-2 Sin^2⁡A=2  cos^2⁡A-1

D. Rumus jumlah dan selisih sudut 

Sin (a+b) = Sin a cos b + cos a sin b

Sin (a-b) = Sin a cos b - cos a sin b

Cos (a+b) = Cos a cos b - Sin a sin b

Cos (a-b) = Cos a cos b + Sin a sin b

Tan (a+b) = (tan⁡a+tan⁡b)/(1-tan⁡a  tan⁡b )

Tan (a-b) = (tan⁡a-tan⁡b)/(1+tan⁡a  tan⁡b )

Contoh :

1. Jika sin a = 6/10 dan cos b = 12/13, kalau a dan b yaitu sudut lancip. maka hitunglah

a. Sin (a+b)

b. cos (a+b)

c. tan (a+b)

Jawab :

Jika sin a = 6/10, maka

cos a = 8/10

tan a = 6/8

Jika cos b = 12/13, maka :

sin b = 5/13

tan b = 5/12

a. Sin (a+b) = Sin a cos b + cos a sin b

                    = (6/10).(12/13) +(8/10).(5/13)

                    = (72/130)+(40/130)

                    =112/130

b. Cos (a+b) = Cos a cos b - Sin a sin b

                     =(8/10).(12/13)-(6/10).(5/13)

                     =(96/130) - (30/130)

                     =66/130

c. Tan (a+b) = (tan⁡a+tan⁡b)/(1-tan⁡a  tan⁡b )

                   =(6/8+5/12)/(1-6/8.5/12  )=40/32

2. Tentukan nilai cos 75, carilah tanpa memakai kalkulator.

Jawab :

Cos 75 = cos (45+30)

Cos (45+30) = Cos 45 cos 30 - Sin 45 sin 30

                     =(1/2 √2).(1/2 √3)-(1/2 √2).(1/2)

                     =1/2 √2 (1/2 √3-1/2)

                     =1/4 √2(√3-1)

3. Diketahui sin a = 3/5 dan tan b = 8/15, kalau a dan b yaitu sudut lancip, maka hitunglah :

a. sin (a-b)=

b. cos (a-b)

c. tan (a-b)

Jawab :

Jika diketahui : 

sin a =3/5, cos a =4/5 tan = 3/4

tan b = 8/15 sin b = 8/17 cos b = 15/17

a. sin (a-b) = Sin a cos b - cos a sin b

                  = (3/5).(15/17)-(4/5).(8/17)

                  =(45/85)-(32/85)=13/85

b. cos (a-b) = Cos a cos b + Sin a sin b

                   = (4/5).(15/17)+(3/5).(8/17)

                   =(60/85)+(24/85)=84/85

c. tan (a-b) = (tan⁡a-tan⁡b)/(1+tan⁡a  tan⁡b )

                 =(3/4-8/15)/(1+3/4.8/15)=13/36

4. Hitunglah nilai cos 24 +sin 24 tan 12

Jawab :

cos 24 +sin 24 . tan 12 = cos 24 +sin 24 . (sin 12)/cos⁡12 

                                     =(cos⁡24.cos⁡12+sin⁡〖24.sin⁡12 〗)/cos⁡12 

                                     =cos⁡(24-12)/cos⁡12 

                                     =cos⁡12/cos⁡12 =1

E. Rumus sudut rangkap dan Setengah

Sin 2A = 2 Sin A cos A

Cos 2A =  cos^2⁡A-Sin^2⁡A=1-2 Sin^2⁡A=2  cos^2⁡A-1

tan 2A =  (2 tan⁡A)/(1-tan^2⁡A )

Sin 3A = 3 Sin A – 4 Sin^3⁡A

Cos 3A = 4 Cos^3⁡A – 3 Sin A

tang 3A =  (3 tan⁡A-Tan^3⁡A)/(1- Tan^3⁡A )

Sin  1/2 A=±√((1-cos⁡A)/2)

Cos  1/2 A=±√((1+cos⁡A)/2)

tan⁡〖1/2 A〗=±√((1-cos⁡A)/(1+cos⁡A ))=(Sin A)/(1+cos⁡A )=(1-cos⁡A)/sin⁡A 

Contoh :

1. Jika diketahui tan A = ¾ dan A yaitu sudut lancip, carilah nilai:

a. sin 2A

b. cos 3A

c. tan ½ A

        

Jawab :

Diketahui A yaitu sudut lancip dan tan A = ¾ , maka sin A = 3/5 dan cos A = 4/5.

a. Sin 2A = 2 Sin A. cos A

                = 2 (3/5) . (4/5)

                = 24/25 

b. cos 3A= 4 cos^3⁡A-3 cos⁡A

               =4(4/5)^3-3(4/5)=196/25 

c. tan ½ A =(1-cos⁡A)/sin⁡A =(1-(4/5))/(3/5)=1/3

F. Rumus hasil kali sinus dan kosinus

2 sin A cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B)

2 Cos A Sin B = Sin (A+B) - Sin (A-B)

2 Cos A cos B = Cos (A+B) + Cos (A-B)

2 sin A Sin B = - Cos (A+B) + Cos (A-B)

Contoh :

1. Hitunglah nilai dari :

a. 2 sin 8a cos 2a

b. cos 3a cos 2a

c. 2 sin 105 cos 15

d. cos 60 sin 30

Jawab :

a. 2 sin 8a cos 2a = Sin (8a+2a) + Sin (8a-2a)

                             =sin 10a +sin 6a

b. cos 3a cos 2a = Cos (3a+2a) + Cos (3a-2a)

                          = cos 5a + cos a

c. 2 sin 105 cos 15 = Sin (105+15) + Sin (105-15)

                               = sin 120 + sin 90

                               =1/2 3 + 1

d. cos 60 sin 30 = Sin (60+30) - Sin (60-30)

                          = sin 90 – sin 30

                          = 1- ½ = ½ 

G. Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Sin A - Sin B = 2 Cos ½ (A+B) Sin ½ (A-B)

Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Cos A - Cos B = - 2 Sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Contoh :

1. Sin 90 – sin 30

2. sin 180 + sin 120

3. cos 90 + cos 30

4. Cos 75 – cos 15

Jawab:

1. Sin 90 – sin 30 = 2 Cos ½ (90+30) Sin ½ (90-30)

                                     = 2 cos ½ (120) Sin ½ (60)

                                     = 2 cos 60 sin 30

                                     = 2  (1/2).1/2=1/2

2. sin 180 + sin 120 =2 Sin ½ (180+120) cos ½ (180-120)

                                         = 2 sin ½ (300) cos ½ (60)

                                         = 2 sin 150 cos 30

                                         = 2 (½). 1/2 √3=1/2 √3  

3. cos 90 + cos 30= 2 Cos ½ (90+30) cos ½ (90-30)

                                     = 2 cos ½ 120 cos ½ 60

                                     = 2 cos 60 . cos 30

                                     = 2 (½). 1/2 √3=1/2 √3

4. Cos 75 – cos 15 = - 2 Sin ½ (75+15) cos ½ (75-15)

                                      = - 2 sin ½ 90 cos ½ 60

                                      = -2 sin 45 cos 30

                                      =-2 (1/2 √2).(1/2 √3)=1/2 √6

Praktis bukan? Jika kita sudah memhami konsep dasar trigonometri, setiap soal trigonometri sanggup kita selesaikan dengan mudah.

Selamat memahami konsep Trigonometri.....

Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: