Contoh Soal Sbmptn Dan Pembahasan Invers Matriks
Untuk pola soal dan pembahasan kali ini kita akan lihat ihwal invers matriks dan aplikasi invers matriks pada penyelesaian soal-soal. Semoga dengan pola soal dan pembahasan ini dapat menciptakan anda lebih paham dengan dalam ihwal matriks. Untuk menuntaskan dan memahami soal soal ini anda harus memastikan telah mengenal bagaimana cara mencari invers matriks, bagaimana menghitung transpos matriks.
Soal 1. Jika matriks di bawah ini yaitu matriks singular. Hasil kali semua nilai x dari matriks ini adalah... $$\begin{pmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{pmatrix}$$
Pembahasan:
Pengertian matriks singular yaitu matriks yang determinannya 0. Oleh lantaran itu kita dapat tulis,$$\begin{vmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{vmatrix} = 0 $$
Selanjutnya kita selesaikan:
(x2+2x)(x-6) - (x+2)(x-10)=0
x(x+2)(x-6)-(x-2)(x-10)=0 , Faktorkan (x+2)
(x+2) [ x(x-6)-(x-10)]=0
(x+2)[ x2-6x-x+10]=0
(x+2)[x-7x+10]=0
(x+2) (x-2)(x-5)=0
x = -2 ; x=2 ; x=5
Perkalian nilai x : (-2)(2)(5)=-20.
Soal 2. Jika Matriks $$A=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Maka nilai dari A+A-1+ A2 adalah....
Pembahasan:
Kita cari masing masing A2 ,A-1 . $$A^2=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ A^2= \begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ A^{-1} = \frac {1}{2.3-1.5}\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A^{-1}= \begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A+A^{-1}+A^2 =\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 19 &25 \\ 5 & 14 \end{pmatrix}$$
Soal 3. Jika CT menyatakan transpos matriks C, maka determinan dari AC+ B-1 =... $$A=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$
Pembahasan:
$$C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ C=\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC =\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} = \frac {1}{5.1-2.2} \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}= \begin{pmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} =8.3-5.-10=74$$
Soal 4. Matriks A dan B memenuhi AB=I, dimana I yaitu matriks Identitas, Jika diketahui $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} $$ Maka Matriks B adalah...
Pembahasan:
AB=I, artinya B yaitu invers dari matriks A. Bisa kita tulis, $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} \\ B= A^{-1}= \frac {1}{5.-2-4.-3} \begin{pmatrix} -2 &3\\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -1 & \frac {3}{2}\\ -2 & -\frac {5}{2} \end{pmatrix}$$
Soal 4. Matriks P yang memenuhi persamaan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} $$
Pembahasan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \\ P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} \\ PI=\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \frac {1}{6.9-7.8}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} -6 &4 \\-4 &2\end{pmatrix} \\ P= \begin{pmatrix} -3 &2 \\2 &-1\end{pmatrix} $$
Soal 5. Matriks X yang memenuhi AX=BT dimana, $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} $$
Pembahasan: $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} \\ B^T =\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ AX=B^T \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ IX = \frac {1}{-2}\begin{pmatrix} 5 &-3\\ -4 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ X=\begin{pmatrix} 9 &6 \\-8 &-5\end{pmatrix}$$
Soal 6. Jika $$B= \begin{pmatrix} 3 &-1\\ -2 &1 \end{pmatrix} \\ (BA^{-1})^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &1 \\4 &3\end{pmatrix} $$ Maka matriks A adalah...
Pembahasan:
Anda harus ingat rumus: $$ (M^{-1})^{-1} = M \\ (MY)^{-1}=Y^{-1}M^{-1}$$
Mari kita selesaikan,
Sumber http://www.marthamatika.com/
Soal 1. Jika matriks di bawah ini yaitu matriks singular. Hasil kali semua nilai x dari matriks ini adalah... $$\begin{pmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{pmatrix}$$
Pembahasan:
Pengertian matriks singular yaitu matriks yang determinannya 0. Oleh lantaran itu kita dapat tulis,$$\begin{vmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{vmatrix} = 0 $$
Selanjutnya kita selesaikan:
(x2+2x)(x-6) - (x+2)(x-10)=0
x(x+2)(x-6)-(x-2)(x-10)=0 , Faktorkan (x+2)
(x+2) [ x(x-6)-(x-10)]=0
(x+2)[ x2-6x-x+10]=0
(x+2)[x-7x+10]=0
(x+2) (x-2)(x-5)=0
x = -2 ; x=2 ; x=5
Perkalian nilai x : (-2)(2)(5)=-20.
Soal 2. Jika Matriks $$A=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Maka nilai dari A+A-1+ A2 adalah....
Pembahasan:
Kita cari masing masing A2 ,A-1 . $$A^2=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ A^2= \begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ A^{-1} = \frac {1}{2.3-1.5}\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A^{-1}= \begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A+A^{-1}+A^2 =\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 19 &25 \\ 5 & 14 \end{pmatrix}$$
Soal 3. Jika CT menyatakan transpos matriks C, maka determinan dari AC+ B-1 =... $$A=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$
Pembahasan:
$$C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ C=\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC =\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} = \frac {1}{5.1-2.2} \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}= \begin{pmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} =8.3-5.-10=74$$
Soal 4. Matriks A dan B memenuhi AB=I, dimana I yaitu matriks Identitas, Jika diketahui $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} $$ Maka Matriks B adalah...
Pembahasan:
AB=I, artinya B yaitu invers dari matriks A. Bisa kita tulis, $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} \\ B= A^{-1}= \frac {1}{5.-2-4.-3} \begin{pmatrix} -2 &3\\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -1 & \frac {3}{2}\\ -2 & -\frac {5}{2} \end{pmatrix}$$
Soal 4. Matriks P yang memenuhi persamaan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} $$
Pembahasan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \\ P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} \\ PI=\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \frac {1}{6.9-7.8}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} -6 &4 \\-4 &2\end{pmatrix} \\ P= \begin{pmatrix} -3 &2 \\2 &-1\end{pmatrix} $$
Soal 5. Matriks X yang memenuhi AX=BT dimana, $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} $$
Pembahasan: $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} \\ B^T =\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ AX=B^T \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ IX = \frac {1}{-2}\begin{pmatrix} 5 &-3\\ -4 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ X=\begin{pmatrix} 9 &6 \\-8 &-5\end{pmatrix}$$
Soal 6. Jika $$B= \begin{pmatrix} 3 &-1\\ -2 &1 \end{pmatrix} \\ (BA^{-1})^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &1 \\4 &3\end{pmatrix} $$ Maka matriks A adalah...
Pembahasan:
Anda harus ingat rumus: $$ (M^{-1})^{-1} = M \\ (MY)^{-1}=Y^{-1}M^{-1}$$
Mari kita selesaikan,
0 Response to "Contoh Soal Sbmptn Dan Pembahasan Invers Matriks"
Posting Komentar