Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan
Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas perihal Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan kita coba diskusikan ke beberapa bagian, mulai dari hukum penjumlahan, hukum perkalian, permutasi, dan kombinasi.
Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita sanggup menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuha kompetisi penuh atau setengah kompetisi. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan juga sangatlah mudah, kalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.
Kaidah pencacahan yang terdiri dari hukum penjumlahan, hukum perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan perkalian dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga bisa meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah. Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada bahan ini, lantaran kalau kita tidak sanggup mendapatkan cara berpikir yang sudah diberikan dalam menuntaskan problem misalkan pada hukum perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam menandakan tanggapan yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.
Aturan Penjumlahan
Apabila aktivitas 1, aktivitas 2, hingga aktivitas ke-n yakni kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan aktivitas 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, aktivitas 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan aktivitas ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak aktivitas tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.Aturan Perkalian
Apabila aktivitas 1, aktivitas 2, hingga aktivitas ke-n yakni kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan aktivitas 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, aktivitas 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan aktivitas ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak aktivitas tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.Faktorial
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ yakni bilangan orisinil dan $0!=1$.
Permutasi
Permutasi yakni suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$.$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$
Permutasi Melingkar
Permutasi Melingkar yakni suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar.Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$.
$P_{siklis}^{n}=(n-r)!$
Permutasi ada unsur yang sama
Permutasi ada unsur yang sama yakni suatu susunan dari $n$ elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun.Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama yakni $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$
Kombinasi
Kombinasi yakni suatu susunan dari $n$ elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$.$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
Teorema Binomial untuk bilangan lingkaran kasatmata $n$
$(a+b)^n=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$
Contoh-contoh dari apa yang disampaikan diatas sanggup kita lihat pada soal-soal berikut, dimana soal bersumber dari soal ujian sekolah, ujian nasional atau ujian masuk akademi tinggi negeri/swasta. Mari kita simak teladan Soalnya😊
Mari kita simak teladan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi berikut 😊
1. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 705 \\
(C)\ & 672 \\
(D)\ & 48 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan yakni "satu" unsur maka unsur yang akan disusun yakni "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan yakni banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$
2. Soal SBMPTN 2017 Kode 241 (*Soal Lengkap)
Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima daerah parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 42 \\
(B)\ & 52 \\
(C)\ & 62 \\
(D)\ & 72 \\
(E)\ & 82
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dengan posisi parkir bebas adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$
Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dimana 2 kendaraan beroda empat truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua kendaraan beroda empat truk yakni "satu" unsur maka unsur yang akan disusun yakni "empat" dan ketika posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$
Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dimana 2 kendaraan beroda empat truk tidak berdekatan yakni banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 (*Soal Lengkap)
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara menciptakan barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\
(B)\ & 6 \times 8! \\
(C)\ & 7 \times 8! \\
(D)\ & 6 \times 7! \\
(E)\ & 7 \times 7!
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi bebas adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$
Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira yakni "satu" unsur maka unsur yang akan disusun yakni "delapan" dan ketika posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$
Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan yakni banyak susunan baris posisi bebas dikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align}
9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\
= & 8! \times (9-2) \\
= & 8! \times 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$
4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)
Tujuh finalis lomba menyayi tingkat Sekolah Menengan Atas di suatu kota berasal dari 6 Sekolah Menengan Atas yang berbeda terdiri atas empat laki-laki dan tiga wanita. Diketahui satu laki-laki dan satu perempuan berasal dari Sekolah Menengan Atas "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara laki-laki dan wanita, serta finalis dari Sekolah Menengan Atas "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 108 \\
(C)\ & 72 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 35
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan laki-laki dan perempuan bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\
\hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan laki-laki dan perempuan bergantian tetapi laki-laki dan perempuan dari Sekolah Menengan Atas "A" harus berurutan. Dengan menganggap laki-laki dan perempuan dari Sekolah Menengan Atas "A" yakni "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi kini yakni "tiga" kelompok. Kelompok laki-laki (3 orang), kelompok perempuan (2 orang) dan kelompok Sekolah Menengan Atas "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $
Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih menyerupai berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\
\hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\
\hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W_{A} & P_{A} & W & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P_{A} & W_{A} & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W_{A} & P_{A} \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$
Total banyak susunan urutan dimana urutan laki-laki dan perempuan bergantian tetapi laki-laki dan perempuan dari Sekolah Menengan Atas "A" harus berurutan yakni $6 \times 12=72$
Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari Sekolah Menengan Atas "A" tidak tampil berurutan yakni $144-72=72$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 72$
5. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 (*Soal Lengkap)
Banyaknya bilangan genap $n=abc$ dengan $3$ digit sehingga $3 \lt b \lt c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 64 \\
(E)\ & 72
\end{align}$
Bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $0,1,2,\cdots,8,9$ dengan syarat $3 \lt b \lt c$
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (4) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 2 = 2$
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (5) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 2 = 2$
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (6) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 1 = 1$
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (7) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan yakni $1 \times 1 \times 1 = 1$
Total bilangan genap $abc$ yang sanggup dibuat dengan ratusan $1$ yakni $2+2+1+1=6$.
Karena untuk ratusan ($a$) angka yang mungkin ada $9$ yaitu $1,2,\cdots,8,9$ maka banyak bilangan genap $abc$ yakni $9 \times 6=54$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 54$
6. Soal SIMAK UI 2016 Kode 541 (*Soal Lengkap)
Banyak susunan karakter berbeda yang sanggup dibuat dari semua karakter pada kata $SIMAKUI$ apabila karakter $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 432 \\
(B)\ & 312 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 164 \\
(E)\ & 720
\end{align}$
Susunan karakter berbeda yang sanggup dibuat dari semua karakter pada kata $SIMAKUI$ apabila karakter $I$ harus selalu berdekatan sanggup kita tentukan dengan menganggap "I" yakni "satu" sehingga banyak karakter yang kan disusun tinggal "enam".
Banyak susunan karakter yakni
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
II & S & M & A & K & U \\
\hline
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array} $
Banyak susunan yakni $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$, untuk perkara ini tidak kita kali $2!$ lantaran kalau $II$ bertukar posisi risikonya yakni posisi yang sama.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 720$
7. Soal SIMAK UI 2015 Kode 568 (*Soal Lengkap)
Sebuah kantin menyediakan sebuah sajian masakan epilog di setiap harinya, yaitu salah satu dari es krim, puding ata pancake. Khusus hari sabtu, hanya menyediakan es krim. Makanan epilog yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Banyaknya kemungkinan susunan sajian masakan epilog dalam satu ahad adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 128 \\
(C)\ & 216 \\
(D)\ & 729 \\
(E)\ & 2187
\end{align}$
Banyaknya kemungkinan susunan sajian masakan antara es krim, puding atau pancake dengan syarat hari sabtu hanya menyediakan es krim dan masakan epilog yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Coba kita selesaikan dengan memeulai dari hal yang khsusus yaitu hari sabtu.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & * & 1 & * \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan masakan epilog pada hari sabtu hanya satu yaitu es krim.
Dari syarat yang di atas, untuk hari Jumat dan Minggu hanya ada $2$ kemungkinan pilihan masakan pentup.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Jika kita teruskan apa yang sudah kita peroleh di atas, maka untuk hari berikutnya Kamis, Rabu, Selasa, Senin juga hanya ada $2$ pilahan masakan epilog lantaran masakan epilog yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
(2) & (2) & (2) & (2) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan masakan epilog yakni $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 2 = 64$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 64$
8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 (*Soal Lengkap)
Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 85 \\
(C)\ & 450 \\
(D)\ & 425 \\
(E)\ & 324
\end{align}$
Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol yang akan disusun dari angka $0,1,2, \cdots 8, 9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(9) & (10) & (5) \end{array} $
Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah: $9 \times 10 \times 5 = 450$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 450$
9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 209 (*Soal Lengkap)
Dari huruf-huruf $S, I, M, A, K$ akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Banyak kata-kata kalau karakter vokal selalu berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 120 \\
(E)\ & 192
\end{align}$
Untuk menuntaskan problem diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya dengan menganggap $I$ dan $A$ yakni "satu" unsur.
Banyak susunan $S, I, M, A, K$ untuk vokal selalu berdampingan. Dengan menganggap $I$ dan $A$ yakni "satu" unsur maka unsur yang akan disusun yakni "empat" dan ketika posisi $I$ dan $A$ berdekatan ada $2!$ susunan yang mungkin terjadi, sehingga banyak susunan kata adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2!=48$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 48$
10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)
Andi dan Budi pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai $8$ pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang sanggup mereka lakukan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28 \\
(B)\ & 224 \\
(C)\ & 444 \\
(D)\ & 484 \\
(E)\ & 896
\end{align}$
Pada soal diatas dikatakan bahwa Andi dan Budi masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $8$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $8$ pilihan untuk yang menentukan pintu keluar pertama dan $7$ pilihan untuk orang yang menentukan belakangan.
$\begin{array}{c|c|cc}
masuk & keluar & keluar \\
\hline
(8) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak cara yakni $8 \times 8 \times 7 = 448$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$
11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Panitia lomba olimpiade matematika menciptakan nomor penerima yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun menurut kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, nomor penerima $43137$ berada pada urutan ke-...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 44$
$(D)\ 85$
$(E)\ 86$
Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil hingga yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$
Jika angka $3$ di depan, angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$
Jika angka $41$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$
Jika angka $43$ di depan, angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,
Kita sudah hingga pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$
12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang sanggup disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$(A)\ 36$
$(B)\ 48$
$(C)\ 52$
$(D)\ 60$
$(E)\ 68$
Bilangan yang akan kita susun yakni bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$
Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 36$
13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Banyak cara menyusun $3$ bola merah dan $9$ bola hitam dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada $2$ bola hitam di antara $2$ bola merah yang berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 180 \times 8! \\
(B)\ & 240 \times 7! \\
(C)\ & 364 \times 6! \\
(D)\ & 282 \times 4! \\
(E)\ & 144 \times 5!
\end{align}$
Diharapkan ada minimum $2$ bola hitam diantara $2$ bola merah. Bola merah ada tiga sehingga diantaranya ada 3 daerah yang harus diisi paling sedikit dua bola.
Untuk menuntaskan soal diatas kita coba menyusun pada kemungkinan-kemungkina yang terjadi.
Pertama kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Kedua kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Ketiga kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Keempat kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Kelima kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Keenam kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya menyerupai gambar berikut;
Total banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{align}
& = 2 \times (8! \times 36 + 8! \times 27 +8! \times 27) \\
& = 2 \times (8! \times 90) \\
& = 8! \times 180
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ 180 \times 8!$
14. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan yakni $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...
$(A)\ 280\ \text{cara}$
$(B)\ 560\ \text{cara}$
$(C)\ 720\ \text{cara}$
$(D)\ 2.720\ \text{cara}$
$(E)\ 5.440\ \text{cara}$
Banyak boneka yakni adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun yakni $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(A).\ 280$
15. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibuat bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang sanggup dibuat adalah...
Bilangan yang akan kita susun yakni bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.
$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan yakni $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.
$\therefore$ Jawaban yang sesuai yakni $36$
16. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang sanggup dilakukan adalah...
$(A)\ 72$
$(B)\ 120$
$(C)\ 360$
$(D)\ 720$
$(E)\ 810$
Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama kalau boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus yakni $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.
Kemungkinan kedua kalau dilarang jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus yakni $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ 720$
17. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)
Suatu Sekolah Menengan Atas unggulan akan menyusun tim cerdas cermat yang beranggotakan $2$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA. Jika di Sekolah Menengan Atas tersebut terdapat $4$ siswa IPS dan $5$ siswa IPA yang berprestasi, maka komposisi tim cerdas cermat sanggup di bentuk dengan...cara
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 90 \\
(E)\ & 360
\end{align}$
Susunan tim cerdas cermat SMA unggulan akan dipilih $2$ siswa IPS dari $4$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA dari $5$ siswa IPA.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{4} \cdot C_{3}^{5} \\
& = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} \\
& = 6 \cdot 10 =60
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60 $
18. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)
Misalkan ada $2$ jalan dari kota A ke kota B, $4$ jalan dari kota A ke kota C, $2$ jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada $3$ jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B dan C, maka banyaknya cara yang sanggup ia tempuh adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 54 \\
(E)\ & 144
\end{align}$
Jika kita ilustrasikan rute jalan menyerupai apa yang disampaikan pada soal kurang lebih menyerupai berikut ini;
- A-B-C-D, pada rute ini banyak rute perjalanan yakni $2 \cdot 2 \cdot 3 =12$
- A-C-B-D, pada rute ini banyak rute perjalanan yakni $4 \cdot 2 \cdot 3 =24$
- Total banyak rute yakni $12+24=36$
19. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)
Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$. Jika kupon-kupon tersebut disusun menurut kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, maka kupon dengan arahan $32124$ berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \\
(B)\ & 39 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 24 \\
(E)\ & 20
\end{align}$
Dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil hingga yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$
Jika angka $2$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$
Jika angka $31$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 4$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$
Jika angka $32$ di depan, angka berikutnya $1$, $2$ dan $4$,
Kita sudah hingga pada susunan $32124$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$
20. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 (*Soal Lengkap)
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 6,\ 8$. Jika kupon-kupon tersebut disusun menurut kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, maka kupon dengan arahan lebih besar daripada $62000$ sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 19
\end{align}$
Kode yang lebih besar dari $62000$ angka yang mungkin di depan adalah:
Jika angka $62$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 8$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{3}^{3}=\frac{3!}{(3-3)!}=6$
Jika angka $68$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$
Jika angka $8$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2,\ 6$, banyak kemungkinan susunan yakni menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$
Banyak arahan yang lebih dari $62000$ yakni $6+3+12=21$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 21$
21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)
Banyaknya bilangan ratusan kelipatan $5$ yang sanggup disusun dari digit $0,1,2,3,4,5$ dengan digit yang berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 32 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 40
\end{align}$
Bilangan ratusan kelipatan $5$, berarti bilangan yang terdiri dari tiga angka dan satuannya yakni $0$ atau $5$.
Untuk satuannya $0$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(5) & (4) & 0 \end{array} $
Banyak bilangan yakni adalah $4 \times 5 \times 1 = 20$
Untuk satuannya $5$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(4) & (4) & 5 \end{array} $
Banyak bilangan yakni adalah $4 \times 4 \times 1 = 16$
total banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ yakni $20+16=36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 36$
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Dari karakter $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ sanggup dibuat $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIGMA" akan berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 105 \\
(B)\ & 106 \\
(C)\ & 110 \\
(D)\ & 111 \\
(E)\ & 112 \\
\end{align}$
Banyak susunan kata merupakan penggalan dari catatan calon guru perihal kaidah pencacahan.
Dari karakter $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika karakter $A$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika karakter $G$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika karakter $I$ di depan, karakter berikutnya $S,\ A,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika karakter $M$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan yakni $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
Jika karakter $SA$ di depan, karakter berikutnya $I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$
Jika karakter $SIA$ di depan, karakter berikutnya $G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $2 \cdot 1 =2$
Jika karakter $SIGA$ di depan, karakter berikutnya $M$,
banyak kemungkinan susunan yakni $1$
Kita sudah hingga pada susunan $SIGMA$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+2+1+1=106$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 106$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Banyak bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$ yang sanggup disusun dari angka-angka $0,1,2,\cdots,9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 132 \\
(B)\ & 136 \\
(C)\ & 140 \\
(D)\ & 141 \\
(E)\ & 144 \\
\end{align}$
Banyak susunan bilangan merupakan penggalan dari catatan calon guru perihal kaidah pencacahan.
Dari angka $0,1,2,3, \cdots, 9$ akan disusun bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$. Karena yang diinginkan adlah bilangan habis dibagi $5$, sehingga angak yang pertama disusun yakni dari satuan.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (0) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin yakni $8 \times 9 \times 1 = 72$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0, 1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin yakni $8 \times 8 \times 1 = 64$
Total banyak bilangan yakni $72+64=136$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 136$
Alternatif untuk satuannya $5$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin yakni $8 \times 1 \times 1 = 8$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin yakni $7 \times 8 \times 1 = 56$
24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Seorang siswa yang mengikuti ujian harus mengerjakan $7$ dari $10$ soal yang ada. Banyak cara siswa tersebut menentukan soal yang akan dikerjakan...
$\begin{align}
(A)\ & 70 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 720 \\
\end{align}$
Untuk menghitung banyak cara menentukan soal yang akan dikerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang ada dan $7$ soal yang dikerjakan nomor soal yakni bebas, nomor berapa saja bisa sehingga nomor urutan soal tidak diperhatikan. Ini sanggup menggunakan catatan calon guru perihal konsep kombinasi.
$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! } \\
C_{7}^{10} & = \dfrac{10!}{7! \cdot (10-7)! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\
& = 10 \cdot 3 \cdot 4=120 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$
25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8 \\
\end{align}$
Untuk menghitung $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ ini sanggup menggunakan catatan calon guru perihal aturan kombinasi dimana $C_{r}^{n} =_{n}\textrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! }$.
$\begin{align}
3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3} &=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2} \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n+1-3)! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1)(n-2)!}{2! \cdot (n-2)! } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1) }{3! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1) }{2 } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1) }{6 } &=7 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\
(n+1) &=7 \\
n &=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$
26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Dalam sebuah kantong terdapat $6$ bola hitam dan $4$ bola merah. Dari kantong tersebut akan diambil $5$ bola sekaligus. Banyak cara yang mungkin bila paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\
(B)\ & 120\ \text{cara} \\
(C)\ & 180\ \text{cara} \\
(D)\ & 186\ \text{cara} \\
(E)\ & 206\ \text{cara}
\end{align}$
Banyak kemungkinan cara pengambilan $5$ bola sekaligus dari $10$ bola dimana bola yang dibutuhkan paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam dari $6$ bola hitam ($H$) dan $4$ bola merah ($M$).
Secara kalimat yang cara yang mungkin terjadi yakni terpilih $5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
Untuk menghitung banyak kemungkinan $5H$ dari $6H$, kita gunakan aturan combinasi:
Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(6,5)$ atau $C_{5}^{6}$ atau $_{6}C_{5}$ atau $\binom{6}{5}$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
dimana $r \leq n$
Total banyak cara adalah:
$5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
$\begin{align}
&=C(6,5) \cdot C(4,0) + C(6,4) \cdot C(4,1) + C(6,3) \cdot C(4,2) \\
&= \dfrac{6!}{5!(6-5)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!}+\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!}+\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
&= 6 \cdot 1 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 \\
&= 6 + 60 + 120 \\
&= 186
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ 186\ \text{cara}$
27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Bejo mempunyai $8$ bola dengan warna yang sama. Ia ingin memasukkan bola tersebut ke dalam $3$ kotak. Kotak I sanggup menampung $2$ bola. Kotak II sanggup menampung $4$ bola. Kotak III sanggup menampung $2$ bola. Banyak cara Bejo memasukkan bola tersebut ke dalam kotak adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \text{cara} \\
(B)\ & 210 \text{cara} \\
(C)\ & 420 \text{cara} \\
(D)\ & 840 \text{cara} \\
(E)\ & 1.680 \text{cara}
\end{align}$
Banyak kemungkinan cara Bejo memasukkan bola ke dalam $3$ kotak.
Karena urutan kotak tidak diatur sehingga urutan kotak tidak ada jadi masalah. Secara keseluruhan banyak cara memasukkan bola ke dalam kotak kalau kita tuliskan dalam kalimat yakni akan dipilih $2$ bola dari $8$ bola untuk isi kotak I dan akan dipilih $4$ bola dari $8-2=6$ bola untuk isi kotak II dan akan dipilih $2$ bola dari $6-4=2$ bola untuk isi kotak III
$\begin{align}
&C(8,2) \cdot C(6,4) \cdot C(2,2) \\
&= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(2-2)!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!(2)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(0)!} \\
&= 28 \cdot 15 \cdot 1 \\
&= 420
\end{align}$
Alternatif penyelesaian, mungkin lebih sanggup dipahami, yaitu dengan menggunakan permutasi kalau ada unsur yang sama, lantaran akan kita susun $8$ unsur kepada tiga kelompok yang terdiri dari $2$, $4$, dan $2$ kelompok yaitu:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{3}}^{n} &=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{3}!} &=\dfrac{8!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 2!} \\
&=4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \\
&= 420
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 420 \text{cara}$
28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk gres dengan nomor kartu terdiri dari $12$ digit. Seorang pegawai menerima kiprah menyusun nomor kartu dengan arahan prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) yakni $0844$ dan epat digit terakhir merupakan angka manis yaitu $1221$. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka $2,3,4,5,7,8,9$ untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang sanggup dibuat oleh pegawai tersebut adalah...
Banyak nomor kartu yakni $12$ digit yaitu $0844-xxxx-1221$ sehingga pegawai kantor hanya akan menyusun $4$ angka yang belum diketahui, yang disusun dari $2,3,4,5,7,8,9$.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
\hline
7 & 7 & 7 & 7
\end{array} $
Banyak nomor kartu yang sanggup dibuat yakni adalah $7^{4}=2401$
$\therefore$ Jawaban yang sesuai $2.401$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dari angka $2,3,5,7,9$ akan dibuat bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Jika angka $5$ muncul dua kali, maka banyaknya bilangan yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 240 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Dari angka $2,3,5,7,9$ akan disusun bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Untuk menyusun bilangan kelipatan $5$, maka kita mulai bekerja pada satuan. Karena angka $5$ boleh muncul dua kali dan angka lain hanya $1$ kali maka:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
(1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (1) \end{array} $
- $k_{6}$ ada $1$ angka yang mungkin biar risikonya bilangan kelipatan $5$ yaitu $5$
- $k_{1}$ ada $5$ angka yang mungkin yaitu $2,3,5,7,9$
- $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi lantaran satu angka sudah digunakan pada satuan, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa digunakan dari $2,3,5,7,9$
- $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi lantaran dua angka sudah digunakan pada satuan dan puluhan, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa digunakan dari $2,3,5,7,9$
- $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi lantaran tiga angka sudah digunakan pada satuan, puluhan dan ratusan, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa digunakan dari $2,3,5,7,9$
- $k_{5}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi lantaran empat angka sudah digunakan pada satuan, puluhan, ratusan dan ribuan, sehingga tinggal $1$ angka yang bisa digunakan dari $2,3,5,7,9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ 120$
30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibuat bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibuat bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda kurang dari $500$. Untuk menyusun bilangan ganjil kurang dari $500$, maka kita bekerja pada satuan dan ratusan sekaligus
$\begin{array}{c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\
\hline
(2) & (4) & (2) & \end{array} $
- $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin biar risikonya bilangan kurang dari $500$ yaitu $2$ dan $4$
- $k_{3}$ ada $2$ angka yang mungkin biar risikonya bilangan ganjil yaitu $5,9$
- $k_{2}$ ada $6$ angka yang mungkin, tetapi lantaran dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga tinggal $4$ angka yang bisa digunakan dari $2,4,5,6,8,9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(E)\ 16$
31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dari angka-angka $2,4,6,7,8$ akan dibuat bilangan yang terdiri dari $6$ angka. Banyak bilangan yang sanggup dibuat kalau angka $6$ boleh muncul dua kali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 504 \\
(B)\ & 440 \\
(C)\ & 384 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 180
\end{align}$
$P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$
Dari data pada soal kita peroleh masing-masing banyak angka yaitu $2=1$,$4=1$, $6=2$, $7=1$ ,$8=1$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} &= \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{1,1,1,1,2}^{6} &= \dfrac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= 360
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ 360$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar tanggapan evaluasi harian matematika,
- lembar tanggapan evaluasi final semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Matematika sanggup mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;
0 Response to "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan"
Posting Komentar