Jumlah Riemann Pada Integral (Integral Riemann)

Jumlah Riemann pada Integral ini pertama kali diperkenalkan oleh Bernhard Riemann, seorang matematikawan orisinil Jerman. Lebih lengkap ihwal Riemann sanggup dibaca dalam Biografi Bernhard Riemann.

Mengenai bentuk aplikasi jumlah Riemann ini sanggup untuk awalnya anda perhatikan kurva di bawah ini.

Permasalahannya ialah dikala anda disuruh menghitung luas area yang berwarna abu-abu?

Contoh aplikasi atau penggunaan pendekatan ini akan diawali dengan membagi area tersebut menjadi beberapa persegi panjang. Perhatikan gambar di bawah ini,

Masing masing Persegipanjang sanggup dihitung luasnya dengan penjabaran

Persegi panjang 1 mempunyai luas $ A_1 \, $ dengan panjang $\Delta x_1 \, $ dan lebar $ f(x_1) $ .

         dengan $ A_1 = p \times l = f(x_1) \Delta x_1 $

Persegi panjang 2 mempunyai luas $ A_2 \, $ dengan panjang $\Delta x_2 \, $ dan lebar $ f(x_2) $ .

         dengan $ A_2 = p \times l = f(x_2) \Delta x_2 $

Persegi panjang 3 mempunyai luas $ A_3 \, $ dengan panjang $\Delta x_3 \, $ dan lebar $ f(x_3) $ .

         dengan $ A_3 = p \times l = f(x_3) \Delta x_3 $

dst

Persegi panjang 8 mempunyai luas $ A_8 \, $ dengan panjang $\Delta x_8 \, $ dan lebar $ f(x_8) $ .

         dengan $ A_8 = p \times l = f(x_8) \Delta x_8 $

Dengan memakai notasi sigma akan diperoleh,

$ \begin{align} A_1 + A_2 + A_3 + ... + A_8 & = f(x_1) \Delta x_1 + f(x_2) \Delta x_2 + f(x_3) \Delta x_3 + ... + f(x_8) \Delta x_8 \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^8 f(x_i) \Delta x_i \end{align} $

Defenis Jumlah Riemann

Kaprikornus Jumlah Riemann sanggup didefeniskan 

Nilai  $ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ didefenisikan sebagai Jumlah Riemann fungsi $ f(x) \, $ dimana $ x_i \, $ ialah titik wakil pada interval ke-$i \, $ dan $ \Delta x_i \, $ lebar interval ke-$i \, $ dan $ n \, $ banyak sub-interval (banyaknya persegi panjang yang terbentuk) dari interval $[a,b]$ . Titik wakil $(x_i) \, $ kita peroleh dengan tiga cara yaitu titik ujung kiri subinterval, titik tengah subinterval, dan titik ujung kanan subinterval, dimana setiap jenis titik wakil menunjukkan hasil yang berbeda. Untuk memahami lebih lanjut berikut beberapa pola soal dan pembahasan yang aku kutip dari aciknadzirah.blogspot.com/search?q=biografi-bernhard-riemann

Contoh Soal dan Pembahasan Jumlah Integral Riemaan

Soal 1: Tentukan jumlah Riemann dari Fungsi di bawah ini,

Soal dari www.freemathlearn.tk

Pembahasan:

Persegi panjang I : p = 0,7 , titik wakil $ x_1 = 0,5 \, $

sehingga lebar $ \, = f(x_1) = f(0,5) = (0,5)^2 - 4 (0,5) + 3 = 1,25 $ .
$ L_1 = p \times l = 0,7 \times 1,25 = 0,875 $

Persegi panjang 2 : panjang = 1,7 - 0,7 = 1 , titik wakil $ x_2 = 1,5 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_2) = f(1,5) = (1,5)^2 - 4 (1,5) + 3 = -0,75 = 0,75 $ .
$ L_2 = p \times l = 1 \times 0,75 = 0,75 $

Persegi panjang 3 : panjang = 2,7 - 1,7 = 1 , titik wakil $ x_3 = 2 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_3) = f(2) = (2)^2 - 4 (2) + 3 = -1 = 1 $ .
 $ L_3 = p \times l = 1 \times 1 = 1 $

Persegi panjang 4 : panjang = 4 - 2,7 = 1,3 , titik wakil $ x_4 = 3,5 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_4) = f(3,5) = (3,5)^2 - 4 (3,5) + 3 = 1,25 $ .
$ L_4 = p \times l = 1,3 \times 1,25 = 1,625 $

Jadi, Jumlah riemann atau pendekatan luasnya $ \, = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 0,875 + 0,75 + 1 + 1,625 = 4,25 $

Soal 2. Diketahui suatu fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan memakai 6 subinterval sama panjang dan titik wakilnya :
a. titik ujung kanan subinterval
b. titik tengah subinterval
c. titik ujung kiri subinterval

Penyelesaian :
a). titik ujung kanan subinterval
Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sehingga :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kanan subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta ialah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai ialah sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 ] \times 0,5 \\ & = [ 10,5 ] \times 0,5 \\ & = 5,25 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya ialah 5,25.

b). titik tengah subinterval
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik tengah subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta ialah titik tengah subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai ialah nilai tengah setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,25 \rightarrow f(x_1) = f(0,25) = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 0,75 \rightarrow f(x_2) = f(0,75) = 0,75 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,25 \rightarrow f(x_3) = f(1,25) = 1,25 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 1,75 \rightarrow f(x_4) = f(1,75) = 1,75 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,25 \rightarrow f(x_5) = f(2,25) = 2,25 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 2,75 \rightarrow f(x_6) = f(2,75) = 2,75 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 0,75 + 1,25 + 1,75 + 2,25 + 2,75 ] \times 0,5 \\ & = [ 9 ] \times 0,5 \\ & = 4,5 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya ialah 4,5.

c). titik ujung kiri subinterval
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kiri subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta ialah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai ialah sebelah kiri setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0 \rightarrow f(x_1) = f(0) = 0 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 0,5 \rightarrow f(x_2) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1 \rightarrow f(x_3) = f(1) = 1 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 1,5 \rightarrow f(x_4) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2 \rightarrow f(x_5) = f(2) = 2 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 2,5 \rightarrow f(x_6) = f(2,5) = 2,5 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 ] \times 0,5 \\ & = [ 7,5 ] \times 0,5 \\ & = 3,75 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya ialah 3,75.

Soal 3. Misalkan diketahui suatu fungsi $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan memakai 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.

Penyelesaian :
*). Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sehingga :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
*). Menentukan titik wakil $(x_i) $ dengan membagi menjadi 6 subinterval :
Karena yang diminta ialah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai ialah sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x^2 $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5^2 = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1^2 = 1 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5^2 = 2,25 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2^2 = 4 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5^2 = 6,25 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3^2 = 9 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 ] \times 0,5 \\ & = [ 22,75 ] \times 0,5 \\ & = 11,375 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya ialah 11,375.

         Perhatikan ketiga gambar luasan berikut ini.

Misalkan kita diminta untuk menghitung luas bersama-sama suatu kawasan menyerupai gambar (c) di atas, maka kita sanggup memakai jumlah riemann dengan membentuk $ n \, $ subinterval dengan $ n \, $ mendekati tak hingga. Dari gambar (a), nampak masih ada beberapa kawasan yang belum terkover oleh persegi panjang yang dibuat, kawasan pada gambar (b) juga demikian belum tercover semuanya. Tapi jikalau nilai $ \Delta x \, $ nya semakin kecil (atau banyak subintervalnya hingga tak hingga), maka akan terbentuk kawasan menyerupai gambar (c) yang artinya luas bersama-sama sudah sanggup kita hitung.

Luas Suatu Daerah dengan Jumlah Riemann

Misalkan kita akan menghitung luas suatu kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ pada selang interval [a,b] dengan membagi menjadi $ n \, $ subinterval ($n \, $ menuju tak hingga), maka akan kita peroleh luas bersama-sama dengan perhitungan :
             
Luas $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $
dengan $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} $ .
penulisan lainnya : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_a^b f(x) dx \, $

Catatan :
Bentuk $ \int \limits_a^b f(x) dx \, $ inilah yang disebut sebagai integral Tentu fungsi $ f(x) \, $ pada interval [a,b] .

Untuk memudahkan dalam pengerjaan jumlah riemann, sebaiknya kita pelajari rumus umum notasi sigma berikut ini :
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $


Contoh Soal Luas Daerah dengan Riemann :
Soal 1. Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] atau $ \int \limits_0^3 x dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,3]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3-0}{n} = \frac{3}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{3}{n} = \frac{1 \times 3}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 3}{n} = \frac{2 \times 3}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 3}{n} = \frac{3 \times 3}{n} $
dan seterusnya ........
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 3}{n} = \frac{i \times 3}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x \, $ , maka $ f(x_i) = \frac{i \times 3}{n} $
*). Menentukan jumlah riemann :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i \times 3}{n} \frac{3}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i \times \frac{9}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} \sum_{i=1}^n i \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} [\frac{1}{2}n(n+1)] \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n(n+1)}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n^2 + \frac{9}{2}n }{n^2} \\ & = \frac{9}{2} \end{align} $
Sehingga nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^3 x dx = \frac{9}{2} $

Soal 2. Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x^2 $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 2] atau $ \int \limits_0^2 x^2 dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,2]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{2}{n} = \frac{1 \times 2}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 2}{n} = \frac{2 \times 2}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 2}{n} = \frac{3 \times 2}{n} $
dan seterusnya ........
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 2}{n} = \frac{i \times 2}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x^2 \, $ , maka $ f(x_i) = \left( \frac{i \times 2}{n} \right)^2 = \frac{4}{n^2} \times i^2 $
*). Menentukan jumlah riemannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{4}{n^2} \times i^2 \frac{2}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i^2 \times \frac{8}{n^3} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^3} \frac{1}{3}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 + 12n^2 + 4n}{3n^3} \\ & = \frac{8 }{3 } \end{align} $
Sehingga nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3} $

6). Nyatakan limit berikut sebagai suatu integal tentu :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{4}{n} \rightarrow b - a = 4 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b - a = 4 \rightarrow b - 0 = 4 \rightarrow b = 4 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{4}{n} = \frac{4i}{n} $
$ f(x_i) = \sqrt{\frac{4i}{n}} = \sqrt{x_i} \, $ artinya $ f(x) = \sqrt{x} $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $
Jadi, bentuk integral tentunya ialah $ \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $ .

b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
Dari soal ini, bentuk $ 1 + \frac{2i}{n} \, $ , artinya $ x_i = a + i \Delta x_i \, $ , sehingga $ a = 1 $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{n} \rightarrow b - a = 2 $
dengan $ a = 1 \, $ maka $ b - a = 2 \rightarrow b - 1 = 2 \rightarrow b = 3 $.
*). Bentuk $ x_i = a + i \Delta x_i = 1 + i \frac{2}{n} = 1 + \frac{2i}{n} $
$ f(x_i) = \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) = (x_i) \, $ artinya $ f(x) = x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_1^3 x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya ialah $ \int \limits_1^3 x dx $ .

c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

*). Kita jadikan bentuk notasi sigma :
$ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Sehingga soal yang akan kita ubah ialah $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \rightarrow b - a = 1 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b - a = 1 \rightarrow b - 0 = 1 \rightarrow b = 1 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{1}{n} = \frac{i}{n} $
$ f(x_i) = \cos \pi (\frac{i}{n}) = \cos \pi (x_i) \, $ artinya $ f(x) = \cos \pi x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^1 \cos \pi x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya ialah $ \int \limits_0^1 \, \cos \pi x \, dx $ .
Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: