Persamaan Lingkaran

Dalam matematika, bundar didefenisikan sebagai himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak tersebut dinamakan dengan jari-jari lingkaran.

Lingkaran bukan lagi istilah gila bagi belum dewasa sekolah alasannya pada setiap jenjang niscaya menemukan bahan terkait lingkaran. Dalam goresan pena ini, akan dibahas mengenai bundar secara analitik yang lebih dikhususkan bagi belum dewasa SMA.

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menawarkan sebuah bundar dengan titik sentra $O(0,0)$ berjari-jari $r$ dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran, serta $Q$ ialah proyeksi titik $P$ pada sumbu $X$. Akibatnya $\triangle OPQ$ ialah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik $Q$. Dengan memanfaatkan teorema pythagoras kita peroleh:

$\begin{align*} OQ^{2}+PQ^{2}&=r^{2}\\ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=r^{2} \end{align*}$

Dengan demikian, sanggup disimpulkan:

Persamaan bundar dengan titik sentra $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah:
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik $P$ merupakan sembarang titik yang terletak pada lingkaran,maka persamaan berlaku untuk semu titik.

Sekarang, kita perhatikan pola soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bundar yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=5^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=25\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bundar dengan titik sentra $O(0,0)$ dengan jari-jari $5$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}=25$

Soal 2
Tentukkan persamaan bundar yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $\sqrt{3}$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=(\sqrt{3})^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=3\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bundar dengan titik sentra $O(0,0)$ dengan jari-jari $\sqrt{3}$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}=3$

mmmm

Soal 3
Tentukan jari-jari dan diameter bundar $4x^{2}+4y^{2}=1$.
Jawab

$\begin{align*} 4x^{2}+4y^{2}&=1\\ x^{2}+y^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\\ r&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \textrm{Jadi}:\;r&=\frac{1}{2}\;\textrm{satuan}\\ D&=1\;\textrm{satuan} \end{align*}$

2. Persamaan Lingkaran dengan Titik Pusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$.

 Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menawarkan sebuah bundar dengan titik sentra $A(a,b)$, dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran. Titik $Q$ merupakan proyeksi titik $P$ pada garis $y=b$, jadinya terbentuk segitiga siku-siku $AQP$ dengan siku-siku di $Q$. Perhatikan $\triangle AQP$, dimana $AQ=(x-a)$, $PQ=(y-b)$, dan $AP=r$, sehingga dengan memanfaatkan teorema pythagoras pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} AQ^{2}+PQ^{2}&=AP^{2}\\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2} \end{align*}$ 

Oleh alasannya $P$ sembarang titik pada bundar maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran. Dari uraian tersebut, sanggup dibentuk kesimpulan sebagai berikut.

Persamaan bundar dengan titik sentra $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Perhatikan pola soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bundar yang berpusat di titik $(2,3)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

Misalkan titik sentra $A(2,3)$ dan $r=5$

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=5^{2}\\ (x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)&=25\\x^{2}+y^{2}-4x-6y-16&=0\end{align*}$

Jadi, persamaan bundar dengan titik sentra $(2,3)$ dengan jari-jari $5$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}-4x-6y-16=0$

Demikianlah uraian bahan pada kesempatan kali ini. Apabila dalam uraian bahan ini ditemukan kesalahan dalam pembahasannya,segera dikomentari di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika....

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: