Trigonometri

Salam Dunia Pendidikan...

PENGERTIAN

PENGERTIAN

Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras.

Sin a  = a/c Cos a = b/c tg a   = a/b

cosec a = c/a sec a      = c/b ctg a    = b/a

HUBUNGAN-HUBUNGAN

ctg a    = 1/tg a sec a    = 1/cos a cosec a = 1/sin a

tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

PENGUKURAN SUDUT

Satu radian (ditulis 1 rad) yakni besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran.

2p rad = 360° p rad  = 180° 1 rad  = 57,29°

KUADRAN




TANDA-TANDA FUNGSI

Kuadran	I 0° - 90°	II 90° - 180°	III 180° - 270°	IV 270° - 360°
Sin	+	+	-	-
Cos	+	-	-	+
Tan	+	-	+	-

SUDUT ISTIMEWA

SUDUT ISTIMEWA

        

	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin	0	1/2	½ Ö2	½ Ö3	1	0	-1	0
cos	1	½ Ö3	½ Ö2	1/2	0	-1	0	1
tan	0	1/3 Ö3	1	Ö3		0		0

Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = cot a	Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a tan (90 + a) = - cot a
Sudut (180 - a) sin (180 - a) = sin a Cos (180 - a) = - Cos a tan (180 - a) = - tan a	Sudut (180 + a) sin (180+a) = -sina Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a
Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a tan (270 - a) = ctg a	Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a
Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a	Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a

Sudut Negatif sin (-a)  = - sin a Cos (-a) = Cos a tan (-a) = - tan a

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.
Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.

Keterangan :

Untuk a sudut lancip

Kuadran	Hubungan
I	a	atau	(90 - a)
II	(180 - a)		(90 + a)
III	(180 + a)		(270 - a)
IV	(360 - a)		(270 + a)

RINGKASAN

Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan                                           kuadran

Sudut (90 ± a) ; (270 ± a)    ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan                                         kuadran

GRAFIK FUNGSI

DALIL SINUS

  a   =   b   =   c  
sin a   sin b   sin d

LUAS SEGITIGA

a² = b² + c² - 2 bc cos a
b² = a² + c² - 2 ac cos b
c² = a² + b² - 2 ab cos d

DALIL COSINUS
Luas = ½ ab sin d
= ½ ac b
= ½ bc a

Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :
                               
L  = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c))
s  = setengah keliling segitiga
   = ½ (a+b+c)

LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA

1. Lingkaran Dalam Segitiga	Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik sentra lingkaran dalam didapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan :                                        rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s
2. Lingkaran Luar Segitiga	Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik sentra lingkaran luar didapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL =    a     =    b    =     c             sin a      sin b     sin d rL =                abc                                       4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)]

3. Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP yakni perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ yakni perpanjangan sisi AC). Titik sentra lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik sentra lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC dan menyinggung sisi AC.

Hubungan :
rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC
                           
= Ö s(s-b)(s-c)
                   (s-a)
rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC
                           
= Ö s(s-a)(s-c)
                   (s-b)
rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB
                           
= Ö s(s-a)(s-b)
                   (s-c)

DALIL-DALIL DALAM SEGITIGA

Koordinat Cartesius titik P(xp , yp) Koordinat Kutub titik P (r, q) r = jarak titik O ke P a = sudut yang dibuat antara garis       hubung OP dengan sumbu x(+)

Terdapat hubungan

Kutub ® Cartesius (r,q) Þ xp = r cos q yp = r sin q

Cartesius ® Kutub                                 (xp,yp) Þ = Öxp2 + yp2 tg q = yp/xp Þ q = ?

KOORDINAT CARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB SUATU TITIK

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°



    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K
     syarat persamaan ini sanggup diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

RUMUS TRIGONOMETRI

y = a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = K cos (x - a)

Maksimum = K ® kalau cos (x - a) = 1
                               cos (x - a) = cos 0°
                                            ® untuk x = a + n.360°

Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1
                              cos (x - a) = cos 180°
                        ® untuk x = a ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0   ® kalau cos (x-a) = 0
                    cos (x-a) = cos 90°
                ® untuk x = a ± 90° + n360°

grafik dibuat menurut data-data diatas

MELUKIS GRAFIK

Untuk x mendekati harga tertentu sanggup ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x kesudahannya akan mendekati 0.

ditulis : l i m     2 = 0
           x ® ¥  x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka   l i m    f(x) = c
                                     x ® a
2. Jika l i m    f(x) = F   dan  l i m    g(x) = G   maka berlaku
           x ® a                     x ® a
a.  l i m   [f(x) ± g(x)] =  l i m   f(x)   ±   l i m   g(x) = F ± G
    x ® a                       x ® a            x ® a

b. l i m   [f(x) • g(x)] =  l i m   f(x) • l i m   g(x) = F • G
    x ® a                      x ® a         x ® a

c. l i m   k • f(x) =  k  l i m   f(x)  = k • F
    x ® a                   x ® a

                              l i m     f(x)
d. l i m     f(x) =  x ® a         = F
    x ® a  g(x)     l i m     g(x)     G
                             x ® a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
    Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
    Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan     penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh     dilakukan, alasannya yakni x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian     baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit     perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥    (a = konstanta)

Semoga Bermanfaat....

Sumber http://ladangilmu-tarya.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: