Limit
Salam Dunia Pendidikan...
PENGERTIAN
Untuk x mendekati harga tertentu sanggup ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
CONTOH :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x karenanya akan mendekati 0.
ditulis : l i m 2 = 0
x ® ¥ x
Hasil yang harus dihindari
0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)
TEOREMA
1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x ® a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G
x ® a x ® a x ® a
b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x ® a x ® a x ® a
c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x ® a x ® a
l i m f(x)
d. l i m f(x) = x ® a = F
x ® a g(x) l i m g(x) G
x ® a
LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI
1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.
2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, sebab x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :
0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering dipakai untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
| l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... | ¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n |
| l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ | ¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a < d |
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau eksklusif gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau eksklusif gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau eksklusif gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau eksklusif gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau eksklusif gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥
ë 3x - Ö9x2 + 4x û akarl i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau eksklusif gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau eksklusif gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau eksklusif gunakan hal khusus ® Differensial
Semoga Bermanfaat....
Sumber http://ladangilmu-tarya.blogspot.com
0 Response to "Limit"
Posting Komentar