Pembahasan Barisan Dan Deret Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
Sebuah barisan bilangan disebut barisan aritmatika jika
U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1 = bilangan konstan
Bilangan konstan disebut beda =b
b = Un – Un-1
Contoh :
Tentukan beda dari :
a. 1,3,5,7,...
b. 5,10,15,20, ...
Jawab :
a. 3-1= 5-2 =7-5= 2=b
b. b=10-5=15-10=20-15=5
2. Suku ke-n Barisan Aritmatika
Un = a + (n – 1) b
Contoh :
a. Carilah suku ke-50 dari barisan 5,8,11,...
Jawab :
a = 5, b = 3
U50 = a + (n – 1) b
= 5 + (50 – 1) 3
= 5 + 49 x 3
= 152
b. Diketahui barisan aritmatika U3 = 3 dan U8 =13.. Tentukan :
- U1 dan beda
- suku ke-60
Jawab :
- U8 = a + 7b = 13
U3 = a + 2b = 13 -
5b = 10
b = 2
a + 7b = 13
a + 7 (2) = 13
↔ a = 13 – 14 = - 1
Jadi U1 = -1 dan b = 2
- Un = a + (n – 1) b
U60 = -1 + (60 – 1) 2
= -1 +59 x 2 = 117
3. Suku Tengah pada Barisan Aritmatika
Misalkan suatu barisan aritmatika dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k bilangan orisinil lebih dari dua. Suku tengahbarisan aritmatika itu yakni suku ke-k atau Uk dan rumusnya ditentuka :
Uk = ½ x (U1 – U2k-1
Contoh :
a. Diketahui barisan aritmatika 3,5,7,9,... .... , 95. Banyaknya suku pada barisan itu yakni ganjil.
- carilah suku tengahnya.
- Suku keberapakah suku tengahnya itu?
- Berapa banyak suku barisan itu ?
Jawab :
- Barisan 3, 5, 7, 9, ... , 95. Suku pertama a = U1 = 3b dan U2k = 95
Uk = ½ (U1 + U2k – 1)
= ½ (3 + 95)
= ½ 98
= 49
Jadi suku tengah barisan tersebut yakni = 49.
- Uk = ½ (U1 + U2k – 1)
= ½ (3 + 95)
= ½ 98
= 49
<-> 3 + (k – 1) 2= 49
<-> 2k = 48
<-> k = 24
Jadi suku tengahnya yakni suku ke-24
Banyaknya suku barisan itu yakni 2k – 1 = 2 x 24 – 1 = 47.
4. Sisipan pada Barisan Aritmatika
Diantara dua bilangan xdan yayang disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilanganbilangan yang disipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai bedabarisan aritmatika yang terbentuk sanggup ditentukan dengan memakai hubungan :
b = (y – 1) / (k + 1)
dengan x dan y ϵ bilangan real (x≠y),dan k ϵ bilangan asli
Contoh : Diantara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 bilangan sehingga bilangam-bilangan semula dan bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan tersebut dan bentuk barisan aritmatika.
Jawab :
Diketahui:
didapat
b = (y – 1) / (k + 1)
= 28 – 4 /5 +1
= 4
Jadi beda = 4
Barisan aritmatika yang terbentuk = 4, 8, 12,16,20,24,28
5. Deret Aritmatika
Jika n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + u4 + . . . + u n – 1 + u n , maka jumlah dari deret tersebut yakni :
Sn = (n/2) . (a + un)
atau
Sn = (n/2) . (2a + (n – 1)b)
Contoh :
1. Hitunglah jumlah deret aritmatika 8 + 11 + 14 + 17 + . . . sampai U40.
Jawab :
8 + 11 + 14 + 17 + . . . + U40.
a = 8, b = 3, n = 40
Sn = (n/2) . (2a + (n – 1)b)
= 40/2 (2 . 8 + (40 – 1) 3)
= 20 (16 + 39 . 3) = 3860
Hitunglah jumlah semuabilangan orisinil kelipatan 3 yang kurang dari 1000!
Jawab :
3 + 6 + 9 + . . . + 999
a = 3, b = 3, Un = 999
Un = a + (n – 1 ) b
= 3 + (n – 1) 3
= 3 + 3n – 3
Un = 3n = 999
n = 333
Sn = n/2 (a + un)
S333 = 333/2 (3 + 999)
= 333 (501)
= 166833
2. Suku ke-5 suatu deret aritmatika sama dengan 40 dan suku ke-8 deret itu sama dengan 25.
a. tentukan suku pertama dan beda deret aritmatika tersebut.
b. Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmatika itu.
Jawab :
a. U5 = 40 dan U8 = 25
U5 = 40
U5 = a + 4b = 40 (1)
U8 = 25
U8 = a + 7b = 25 (2)
dengan metode eliminasi dari (1) dan (2) didapat :
a + 4b = 40
a + 7b = 25 -
- 3b = 15
b = - 5
a = 60
Jadi suku pertama deret tersebut = 60 dan beda = -5
b. Jumlah sepuluh suku pertama S10.
S10 = n/2 (2a + (n – 1) b)
= 10/2 (2. 60 + (10 – 1) ( - 5))
= 5 (120 – 45)
= 375
Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com
0 Response to "Pembahasan Barisan Dan Deret Aritmatika"
Posting Komentar