Persamaan Garis Singgung Bulat (Pgsl)
Kita telah mengetahui bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap lingkaran,yaitu memotong bulat di dua titik berlainan, memotong bulat di satu titik (menyinggung), dan tidak memotong lingkaran. Garis yang menyinggung bulat inilah yang dinamakan dengan Garis Singgung Lingkaran.
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!
Lingkaran berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$. Garis $g$ disebut garis singgung bulat di titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $AP$ tegak lurus $g$. Persamaan garis singgung bulat di titik $A(x_{1},y_{1})$ diperlihatkan pada tabel berikut.
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu
Perhatikan gambar berikut.
Lingkaran berpusat di $(a,b)$ berjari-jari $r$. $g$ yaitu garis singgung bulat dengan gradien $m$. Persamaan garis singgung bulat dengan titik sentra $(a,b)$ dan bergradien $m$ diperlihat pada tabel berikut.
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui suatu Titik di Luar Lingkaran
Melalui suatu titik di luar bulat sanggup dibentuk dua buah garis singgung lingkaran.
Persamaan umum garis singgung bulat melalui sebuah titik $C(x_{1},y_{1})$ yang terletak di luar bulat yaitu :
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Dimana $m$ yaitu gradien garis singgung dan sanggup ditentukan dengan cara berikut.
- substitusi persamaan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ke persamaan bulat sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
- dari persamaan kuadrat pada point pertama, dengan mengambil nilai $D=0$ maka akan diperoleh nilai $m$.
Berikut beberapa tumpuan soal terkait Persamaan Garis Singgung Lingkaran.
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkatan $x^{2}+y^{2}=13$ di titik $A(2,-3)$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ditentukan oleh rumus:
$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Substitusi titik $A(2,-3)$ ke rumus diperoleh:
$\begin{align*}x_{1}x+y_{1}y&=r^{2}\\2x+(-3)y&=13\\2x-3y&=13\end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut yaitu $2x-3y=13$.
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung bulat $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=20$ di titik $(4,-5)$.
Jawab
$\begin{align*}(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)&=r^{2}\\(4-2)(x-1)+(-5-1)(y+1)&=20\\2(x-1)-6(y+1)&=20\\2x-2-6y-6&=20\\2x-6y-28&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut yaitu $2x-6y-28=0$.
Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}+4x-6y-27=0$ di titik $(4,1)$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}+Ax+B+C=0$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*} x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C&=0\\4x+y+\frac{4}{2}(x+4)+\frac{-6}{2}(y+1)-27&=0\\4x+y+2x+8-3y-3-27&=0\\6x-2y-22&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut yaitu $\begin{align*} 6x-2y-22&=0 \end{align*}$ .
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}=9$ dengan gradien $2$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dan bergradien $m$ ditentukan oleh rumus berikut:
Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}-10x+4y+19=0$ yang sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$.
Jawab
Misalkan gradien garis $2y+6x-5=0$ yaitu $m_{1}$ dan gradien garis singgung lingkaram $m_{2}$.
Titik sentra lingkaran
$\begin{align*}P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(4)\right)\\&=(5,-2)\end{align*}$
Jari-jari lingkaran
$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\r&=\sqrt{\frac{(-10)^{2}}{4}+\frac{(4)^{2}}{4}-19}\\r&=\sqrt{25+4-19}\\r&=\sqrt{10}\end{align*}$
Persamaan garis singgung
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)±r\sqrt{m^{2}+1}\\y+2&=-3(x-5)±\sqrt{10}\sqrt{(-3)^{2}+1}\\y+2&=-3x+15±\sqrt{10}\sqrt{10}\\y+2&=-3x+15±10\end{align*}$
PGS I
$\begin{align*}y +2&=-3x+15+10\\y+3x-23&=0\end{align*}$
PGS II
$\begin{align*}y+2&=-3x+15-10\\y+3x-3&=0\end{align*}$
Jadi persamaan garis singgung bulat yang dimaksud yaitu $y+3x-23=0$ dan $y+3x-3=0$.
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung bulat $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=20$ di titik $(4,-5)$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:
$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$
Substitusi titik $(4,-5)$ ke rumus tersebut,maka diperoleh:$\begin{align*}(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)&=r^{2}\\(4-2)(x-1)+(-5-1)(y+1)&=20\\2(x-1)-6(y+1)&=20\\2x-2-6y-6&=20\\2x-6y-28&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut yaitu $2x-6y-28=0$.
Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}+4x-6y-27=0$ di titik $(4,1)$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}+Ax+B+C=0$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:
$x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C=0$
Substitusi titik $(4,1)$ ke rumus tersebut maka diperoleh:$\begin{align*} x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C&=0\\4x+y+\frac{4}{2}(x+4)+\frac{-6}{2}(y+1)-27&=0\\4x+y+2x+8-3y-3-27&=0\\6x-2y-22&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut yaitu $\begin{align*} 6x-2y-22&=0 \end{align*}$ .
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}=9$ dengan gradien $2$.
Jawab
Persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dan bergradien $m$ ditentukan oleh rumus berikut:
$\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}} \end{align*}$
Dari soal tersebut, kita peroleh $m=2$, dan $r=3$, kemudian disubstitusi ke rumus sehingga diperoleh: $\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{1+2^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{5} \end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bulat tersebut ada dua, yaitu $\begin{align*} y&=2x+\sqrt{5}\;\textrm{dan}\;y=2x-3\sqrt{5} \end{align*}$
Contoh 5
Salah satu persamaan garis singgung bulat pada bulat $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ yang sejajar dengan dengan garis $5x-12y+15=0$ yaitu ....
A. $5x-12y+10=0$
B. $5x-12y-10=0$
C. $5x+12y-10=0$
D. $5x+12y+10=0$
E. $5x-12y+68=0$
Jawab
Misalkan gradien garis $5x-12y+15=0$ yaitu $m_{2}$ dan gradien garis singgung bulat yaitu $m_{2}$. Oleh alasannya yaitu sejajar maka:
$m_{2}=m_{1}$
Kita tahu bahwa, gradien garis $ax+by+c=0$ yaitu $m=-\frac{a}{b}$, sehingga:
$\begin{align*} 5x-12y+15=0\Rightarrow m_{1}&=-\frac{a}{b}\\ m_{1}&=-\frac{5}{-12}\\ m_{1}&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Sehingga gradien garis singgung bulat adalah:
$\begin{align*} m_{2}=m_{1}\Rightarrow m_{2}=\frac{5}{12} \end{align*}$
Pusat Lingkaran
$\begin{align*} P(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})&=(-\frac{2}{-2},-\frac{4}{2})\\&=(1,-2)\\ \end{align*}$
Jari-Jari Lingkaran
$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{(-2)^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{4}-(-4)}\\ r&=\sqrt{1+4+4}\\ r&=9 \end{align*}$
Selanjutnya memilih persamaan garis singgung bulat yang bergradien $\begin{align*} m=\frac{5}{12} \end{align*}$ sebagai berikut.
$\begin{align*} y-b&=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y-(-2)&=\frac{5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{169}{144}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\left(\frac{13}{12} \right )\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm\frac{39}{12} \end{align*}$
Ada dua PGS yang mungkin yaitu;
PGS I
$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}+\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x+\frac{34}{12}\\ 12y+24&=5x+34\\ 5x-12y+10&=0 \end{align*}$
PGS II
$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}-\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{44}{12}\\ 12y+24&=5x-44\\ 5x-12y-68&=0 \end{align*}$
Jadi, balasan yang sempurna yaitu opsi A
Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung bulat $x^{2}+y^{2}-10x+4y+19=0$ yang sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$.
Jawab
Misalkan gradien garis $2y+6x-5=0$ yaitu $m_{1}$ dan gradien garis singgung lingkaram $m_{2}$.
$\begin{align*}m_{1}=-\frac{6}{2}=-3\end{align*}$
Garis singgung bulat sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$, maka $m_{2}=m_{1}=-3$.Titik sentra lingkaran
$\begin{align*}P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(4)\right)\\&=(5,-2)\end{align*}$
Jari-jari lingkaran
$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\r&=\sqrt{\frac{(-10)^{2}}{4}+\frac{(4)^{2}}{4}-19}\\r&=\sqrt{25+4-19}\\r&=\sqrt{10}\end{align*}$
Persamaan garis singgung
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)±r\sqrt{m^{2}+1}\\y+2&=-3(x-5)±\sqrt{10}\sqrt{(-3)^{2}+1}\\y+2&=-3x+15±\sqrt{10}\sqrt{10}\\y+2&=-3x+15±10\end{align*}$
PGS I
$\begin{align*}y +2&=-3x+15+10\\y+3x-23&=0\end{align*}$
PGS II
$\begin{align*}y+2&=-3x+15-10\\y+3x-3&=0\end{align*}$
Jadi persamaan garis singgung bulat yang dimaksud yaitu $y+3x-23=0$ dan $y+3x-3=0$.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika...
Salam Matematika...
0 Response to "Persamaan Garis Singgung Bulat (Pgsl)"
Posting Komentar